浅谈中学数学教学中的数形结合思想的体现

　　【645150】四川高县教学研究与教师培训中心：袁 莉
　　数形结合思想是一种重要的数学思想，它可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质，因此在中学数学教学中应有效渗透数形结合思想，提高学生的思维能力和数学素养。
　　一、数学结合思想的定义和重要性
　　数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。数形结合思想是重要的数学思想之一，它是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析研究对象的代数含义，又揭示其几何意义，使数量关系和空间形式巧妙、和谐地结合起来，并充分利用这种结合,寻找解题思路,使问题得到解决。它的实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，在代数与几何的结合上寻找解题思路。数形结合思想是指将数（量）与（图）形结合起来进行分析、研究、解决问题的一种思维策略。着名数学家华罗庚先生说：“数与形本是相倚依，怎能分作两边飞，数缺形时少直觉，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休。”这充分说明了数形结合思想在数学研究和数学应用中的重要性。数形结合思想简而言之就是把数学中“数”和数学中“形”结合起来解决数学问题的一种数学思想。通过“数”与“形”之间的对应和转换来解决数学问题。因此，在初中数学教学中，渗透数形结合的思想起到了举足轻重的作用。
　　从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系。这可以算是数与形结合的开端。即而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应。现在课程的修订它要求学生通过学习数学知识、技 能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在华东版本的数学课程中又是怎样体现的呢？下面我就谈谈在初中数学教学时渗透数形结合思想方法的看法：
　　一、数轴中的数形结合
　　用数轴上的点来表示有理数，就是最简单的数形结合思想的体现，结合数轴表示有理数，能帮助学生较好地理解有理数的绝对值、相反数等概念，以及进行两个有理数的大小比较。所以，在初中数学教学中渗透数形结合的思想方法，可以帮助学生把复杂的问题简单化，把抽象的问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。
　　例、若a＞0，b＜0.且|b|＜|a|试比较a，-a， b，-b的大小。
　　在解决这个问题的时候，应用数形结合的思想就起到了很好的作用，根据问题中的条件，引导学生，在数轴上先确定出a，b的位置，然后根据a与-a，b与-b是相反数的关系，再确定出-a，-b在数轴上的位置，这样，根据这四个数在数轴上的位置，就可以确定出它们的大小了，即-a＜b＜-b＜a。 　　这道题应用了数形结合的思想方法，从结果来看，它体现了数形结合在解题中的直观与简明。
　　二、应用题中的数形结合
　　例、修筑一条公路，由3个工程队分筑，第一工程队筑全路的三分之；第二工程队筑剩下的三分之一；第三工程队筑了20千米把全部路筑完，问全路共有多少千米？
　　分析：这是一道已知条件十分复杂的应用题，如果把数与形结合，借助图形来分析，就直观、清楚多了。从这道问题中借助图形，可有这样的相等关系：
　　第一工程队筑路数＋第二工程队筑路数＋第三工程队筑路数=全路的总共设全路总共为S千米，用线的图表示如下： 　　五、“空间与图形”中的数形结合
　　几何内容做了较大的删改，削弱了以演绎推理为主要形式的定理证明，降低了论证过程形式化的要求和证明的难度。我想，这无疑给了教师充分脱脂的空间。教师要把握好数学思想方法在整个教学发展中的地位，对于“数形结合”，教师要善于挖掘教材和生活中的素材，从形到数，揭示“形”中“数”的本质。
　　例、（1）如图，用长30m的篱笆与一堵墙围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。
　　(2）如图，用长30m的篱笆与两堵墙（两堵墙成120°角）围一方土地，求篱笆能包围的土地的最大面积。
　　(3)如图8，用长12m的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，围使透进的阳光最多，应选择窗子的长宽各为多少m？ 　　在教学中，教师应该不失时机的让学生透过形的外表，触及其内在的数量关系，探索由形到数的联系与规律。
　　六、“统计与概率”中的数形结合
　　新课标中的统计与概率，在内部编排和内容要求上却由所加强，真正让学生经历统计的全过程，发现并提出问题，运用适当的方法，收集和整理数据，运用合适的统计表统计图来展示数据做出决策。
　　例、一布袋中方有黄、白两种球，其中一个黄球，两个白球，它们除颜色外其它都一样，小亮从布袋中摸出一个球后放回去摇匀，再摸出一个球，求两次都摸到白球的概率。 　　由于数形结合具有形象直观、易于接受的优点，它对于沟通中知识间的联系，活跃课堂气氛，开阔学生的思路，发展学生的潜能，提高学生的创造思维能力和开拓精神，使学生充分张扬个性，充分发挥潜能，真正实现个体的最优化发展都有很大帮助。
　　七、一元一次不等式中的数形结合
　　一元一次不等式的解法虽然与一元一次方程的解法相似，但学生不易理解一元一次不等式的解有无数个，在教学时，为了加深学生对不等式的解集的理解，老师在教学时，把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无数个解。这里渗透了数形结合的思想方法，在数轴上表示数是数形结合思想的体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又迈进了一步，在确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效。
　　例、求不等式 x＋9≥7 的非正整数解。
　　分析：这道题利用数轴将不等式的解集x≥－2在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到x≥－2的解有无限多个，但满足条件的非正整数只有－2、? －1、0三个。 　　总之，数形结合的思想贯穿于整个教学过程中，数与形是密切相关的两个数学表象,它们的有机结合是一种重要的解题思想方法。重视数形结合的思想方法,是优化思维品质的有效途径。教学中应该注意引导学生数形问题相互转化，即把几何图形转化为数量关系问题，应用代数知识进行讨论，或者把数量关系问题转化为图形，简化纯代数的运算，使学生看到形能想象到数, 而看到数则能想到形。【刊号ISSN2409-9767；责任编辑 杨春】