【奇阶幻方】
一、Merzirac法生成奇阶幻方
Merzirac法，有人也叫楼梯法，我管它叫斜步法，即走X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），-Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向下移一格继续填写）。其实斜步法可以向4个方向依次填写数字，即右上、右下、左上、左下4个方向，每种斜步都可有2种跳步，即左（右）跳步、上（下）跳步。对于X+Y斜步相应的跳步可以为-X，-Y。即：在第一行居中的方格内放1，依次向右上方填入2、3、4、…，如果右上方已有数字，则向下移一格继续填写。如下是用Merziral法生成的5阶幻方：
17 24 01 08 15
23 05 07 14 16
04 06 13 20 22
10 12 19 21 03
11 18 25 02 09
【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相反方向即可。如右上方向斜步，跳步就为向左（或向下）一步；左下方向斜步，跳步就为向右（或向上）一步；等等。】
二、loubere法生成奇阶幻方
loubere法可以记作X+Y斜步（数字按右上方顺序填入），2Y跳步（如果右上方已有数字或出了对角线，则向上移二格继续填写）。对于X+Y斜步相应的跳步可以为2X，2Y。【记住，跳步是X+Y斜步的X（或Y）相同方向即可。】2Y跳步，则在居中的方格向上一格放1里，按上斜步，2Y跳步的方法构成幻方。-2Y跳步，则在居中的方格向下一格放1里，按下斜步，-2Y跳步的方法构成幻方。2X跳步，则在居中的方格向右一格放1里，按右斜步，2X跳步的方法构成幻方。-2X跳步，则在居中的方格向左一格放1里，按左斜步，-2X跳步的方法构成幻方。
在居中的方格向上一格内放1，依次向右上方填入2、3、4、…，如果右上方已有数字，则向上移两格继续填写。如下是用Louberel法生成的5阶幻方：
23 06 19 02 15
10 18 01 14 22
17 05 13 21 09
04 12 25 08 16
11 24 07 20 03
三、horse法生成奇阶幻方
对于所有的奇阶幻方，在第一行居中的方格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4、…，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字，则向下移一格继续填写。如下是用Horse法生成的5阶幻方：
23 12 01 20 09
04 18 07 21 15
10 24 13 02 16
11 05 19 08 22
17 06 25 14 03
n阶奇阶幻方，若n为不是3的倍数，那么在任意一格内放1，向左走1步，下走2步以跳马步，依次填入2、3、4、…，若出到方阵下方，把该数字填到本该填数所在列上方相应的格；若出到方阵右方，把该数字填到本该填数所在行的左方相应的格；如果落步格已有数字，则向上移一格继续填写。如下图用Horse法生成的5阶幻方：
01 14 22 10 18
25 08 16 04 12
19 02 15 23 06
13 21 09 17 05
07 20 03 11 24
【偶阶幻方】
偶阶幻方分为双偶幻方和单偶幻方。一个n阶幻方，当n为偶数时，我们称幻方为偶阶幻方；当n可以被4整除时，我们称该偶阶幻方为双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等；当n不可被4整除时，我们称该偶阶幻方为单偶幻方，如6阶、10阶、14阶等。
一、双偶幻方的解法
能被4整除的n阶幻方叫双偶幻方，如8阶、12阶、16阶等，双偶幻方用Spring法、Strachey法生成。
1.Spring法生成双偶幻方。方法就是两句话：顺序填数，以中心点对称互换数字。将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将n阶幻方看作一个矩阵，记为A，其中的第i行j列方格内的数字记为a(i,j)。第一步，先令a(i,j)=(i-1)*n+j，即第一行从左到右可分别填写1、2、3、…、n；即第二行从左到右可分别填写n+1、n+2、n+3、…、2n；…、。简单地说，就是1放在幻方的任意一个角格，然后按同一个方向按顺序依次填写其余数。以8阶幻方为例，顺序填数。如下所示：
01 02 03 04 05 06 07 08
09 10 11 12 13 14 15 16
17 18 19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30 31 32
33 34 35 36 37 38 39 40
41 42 43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63 64
等，共有8种方法。（以下我只以一种为例讲解。其余方法相同）第二步，进行对称交换。对称交换的方法有两种：方法一；将左上区域i+j为偶数的与幻方内以中心点为对称点的右下角对角数字进行交换；将右上区域i+j为奇数的与幻方内以中心点为对称点的左下角对角数字进行交换。（保证不同时为奇或偶即可。）
64 02 62 04 05 59 07 57
09 55 11 53 52 14 50 16
48 18 46 20 21 43 23 41
25 39 27 37 36 30 34 32
33 31 35 29 28 38 26 40
24 42 22 44 45 19 47 17
49 15 51 13 12 54 10 56
08 58 06 60 61 03 63 01
或
01 63 03 61 60 06 58 08
56 10 54 12 13 51 15 49
17 47 19 45 44 22 42 24
40 26 38 28 29 35 31 33
32 34 30 36 37 27 39 25
41 23 43 21 20 46 18 48
16 50 14 52 53 11 55 09
57 07 59 05 04 62 02 64
完成幻方，幻和值260。方法二；将幻方等分成m×m个4阶幻方，将各4阶幻方中对角线上（或非对角线上）的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换。下图为将各4阶幻方中对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换，完成幻方，幻和值260。
64 02 03 61 60 06 07 57
09 55 54 12 13 51 50 16
17 47 46 20 21 43 42 24
40 26 27 37 36 30 31 33
32 34 35 29 28 38 39 25
41 23 22 44 45 19 18 48
49 15 14 52 53 11 10 56
08 58 59 05 04 62 63 01
下面是为将各4阶幻方中非对角线上的方格内数字与n阶幻方内以中心点为对称点的对角数字进行交换，完成幻方，幻和值260。
01 63 62 04 05 59 58 08
56 10 11 53 52 14 15 49
48 18 19 45 44 22 23 41
25 39 38 28 29 35 34 32
33 31 30 36 37 27 26 40
24 42 43 21 20 46 47 17
16 50 51 13 12 54 55 09
57 07 06 60 61 03 02 64
2.Strachey法生成双偶幻方。第一步，将n阶双偶幻方表示为4m阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m阶偶数幻方。A C D B A用1至填写成2m阶幻方；B用+1至2×填写成2m阶幻方；C用2×+1至3×填写成2m阶幻方；D用3×+1至4×填写成2m阶幻方；将8阶双偶幻方表示为4×2阶幻方。将其等分为四个2×2阶偶数幻方，即4阶偶数幻方。
16 02 03 13 48 34 35 45
05 11 10 08 37 43 42 40
09 07 06 12 41 39 38 44
04 14 15 01 36 46 47 33
64 50 51 61 32 18 19 29
53 59 58 56 21 27 26 24
57 55 54 60 25 23 22 28
52 62 63 49 20 30 31 17
第三步，在A每行取m个小格（一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），将其与D相应方格内交换；B与C以相同方法进行。对于8阶幻方，A每行取2个小格（一侧对角线格为必换格，其余1格只要不是另一侧对角线格即可），要与D相应方格内交换；C与B以相同方法进行。最简单的方法就是：A任意2列，与D相对应的2列互换，C任意2列，与B相对应的2列互换即可。
64 50 03 13 48 34 19 29
53 59 10 08 37 43 26 24
57 55 06 12 41 39 22 28
52 62 15 01 36 46 31 17
16 02 51 61 32 18 35 45
05 11 58 56 21 27 42 40
09 07 54 60 25 23 38 44
04 14 63 49 20 30 47 33
或
64 50 03 13 32 18 35 45
53 59 10 08 21 27 42 40
57 55 06 12 25 23 38 44
52 62 15 01 20 30 47 33
16 02 51 61 48 34 19 29
05 11 58 56 37 43 26 24
09 07 54 60 41 39 22 28
04 14 63 49 36 46 31 17
等等完成幻方，幻和值260。
二、单偶幻方的解法
将n阶单偶幻方表示为4m+2阶幻方。将其等分为四分，成为如下图所示A、B、C、D四个2m+1阶奇数幻方。A C D B A用1至2m+1填写成阶幻方；B用+1至2×填写成2m+1阶幻方；C用2×+1至3×填写成2m+1阶幻方；D用3×+1至4×填写成2m+1阶幻方；
08 01 06 26 19 24
03 05 07 21 23 25
04 09 02 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11
在A每行取m个小格（中心格及一侧对角线格为必换格，其余m-1格只要不是另一侧对角线格即可），也就是说在A中间一行取包括中心格在内的m个小格，其他行左侧边缘取m个小格，将其与D相应方格内交换；B与C任取m-1列相互交换。6阶幻方就是4×1+2，那么m就是1。在A中间一行取中心格1个小格，其他行左侧边缘取1个小格，将其与D相应方格内交换；B与C接近右侧m-1列相互交换（6阶幻方m-1=0，则不用互换）。如下图用Strachey法生成的6阶幻方：
35 01 06 26 19 24
03 32 07 21 23 25
31 09 02 22 27 20
08 28 33 17 10 15
30 05 34 12 14 16
04 36 29 13 18 11
每一行，每一列，对角线的和值（称为幻和值）为111。
三阶幻方
08 01 06
03 05 07
04 09 02
四阶幻方
01 15 14 04
12 06 07 09
08 10 11 05
13 03 02 16
五阶幻方
11 24 07 20 03
04 12 25 08 16
17 05 13 21 09
10 18 01 14 22
23 06 19 02 15
六阶幻方
08 01 06 26 19 24
03 05 07 21 23 25
04 09 02 22 27 20
35 28 33 17 10 15
30 32 34 12 14 16
31 36 29 13 18 11
七阶幻方
30 39 48 01 10 19 28
38 47 07 09 18 27 29
46 06 08 17 26 35 37
05 14 16 25 34 36 45
13 15 24 33 42 44 04
21 23 32 41 43 03 12
22 31 40 49 02 11 20
八阶幻方
01 48 31 50 33 16 63 18
30 51 46 03 62 19 14 35
47 02 49 32 15 34 17 64
52 29 04 45 20 61 36 13
05 44 25 56 09 40 21 60
28 53 08 41 24 57 12 37
43 06 55 26 39 10 59 22
54 27 42 07 58 23 38 11
九阶幻方
77 58 39 20 01 72 53 34 15
06 68 49 30 11 73 63 44 25
16 78 59 40 21 02 64 54 35
26 07 69 50 31 12 74 55 45
36 17 79 60 41 22 03 65 46
37 27 08 70 51 32 13 75 56
47 28 18 80 61 42 23 04 66
57 38 19 09 71 52 33 14 76
67 48 29 10 81 62 43 24 05
十阶幻方
17 24 01 08 15 67 74 51 58 65
23 05 07 14 16 73 55 57 64 66
04 06 13 20 22 54 56 63 70 72
10 12 19 21 03 60 62 69 71 53
11 18 25 02 09 61 68 75 52 59
92 99 76 83 90 42 49 26 33 40
98 80 82 89 91 48 30 32 39 41
79 81 88 95 97 29 31 38 45 47
85 87 94 96 78 35 37 44 46 28
86 93 100 77 84 36 43 50 27 34
十一阶幻方
68 81 94 107 120 01 14 27 40 53 66
80 93 106 119 11 13 26 39 52 65 67
92 105 118 10 12 25 38 51 64 77 79
104 117 09 22 24 37 50 63 76 78 91
116 08 21 23 36 49 62 75 88 90 103
07 20 33 35 48 61 74 87 89 102 115
19 32 34 47 60 73 86 99 101 114 06
31 44 46 59 72 85 98 100 113 05 18
43 45 58 71 84 97 110 112 04 17 30
55 57 70 83 96 109 111 03 16 29 42
56 69 82 95 108 121 02 15 28 41 54
十九阶幻方
192 213 234 255 276 297 318 339 360 01 22 43 64 85 106 127 148 169 190
212 233 254 275 296 317 338 359 19 21 42 63 84 105 126 147 168 189 191
232 253 274 295 316 337 358 18 20 41 62 83 104 125 146 167 188 209 211
252 273 294 315 336 357 17 38 40 61 81 103 124 145 166 187 208 210 231
272 293 314 335 356 16 37 39 60 81 102 123 144 165 186 207 228 230 251
292 313 334 355 15 36 57 59 80 101 122 143 164 185 206 227 229 250 271
312 333 354 14 35 56 58 79 100 121 142 163 184 205 226 247 249 270 291
332 353 13 34 55 76 78 99 120 141 162 183 204 225 246 248 269 290 311
352 12 33 54 75 77 98 119 140 161 182 203 224 245 266 268 289 310 331
11 32 53 74 95 97 118 139 160 181 202 223 244 265 267 288 309 330 351
31 52 73 94 96 117 138 159 180 201 222 243 264 285 287 308 329 350 10
51 72 93 114 116 137 158 179 200 221 242 263 284 286 307 328 349 09 30
71 92 113 115 136 157 178 199 220 241 262 283 304 306 327 348 08 29 50
91 112 133 135 156 177 198 219 240 261 282 303 305 326 347 07 28 49 70
111 132 134 155 176 197 218 239 260 281 302 323 325 346 06 27 48 69 90
131 152 154 175 196 217 237 259 280 301 322 324 345 05 26 47 68 89 110
151 153 174 195 216 237 258 279 300 321 342 344 04 25 46 67 88 109 130
171 173 194 215 236 257 278 299 320 341 343 03 24 45 66 87 108 129 150
172 193 214 235 256 277 298 319 340 361 02 23 44 65 86 107 128 149 170
中国都市报【刊号：ISSN-2409-9767；责任编辑：杨春】
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